hom_ext — Mathlib

English

Extensionality for five-step arrows: equal vertices and equal maps imply equality of arrows.

Русский

Экстенсиональность для пятиступенчатых стрелок: равенство вершин и отображений влечёт равенство стрелок.

LaTeX

$$$\forall f,g : ComposableArrows C 5, (h_0: f.obj' 0 = g.obj' 0) \dots (h_5: f.obj' 5 = g.obj' 5) \Rightarrow (w_0: f.map' 0 1 = eqToHom h_0 ≫ g.map' 0 1 ≫ eqToHom h_1.symm) \dots (w_4: f.map' 4 5 = eqToHom h_4 ≫ g.map' 4 5 ≫ eqToHom h_5.symm) \Rightarrow f = g$$$

Lean4

/-- In any concrete category, we can test equality of morphisms by pointwise evaluations. -/
@[ext low]
theorem hom_ext {X Y : C} (f g : X ⟶ Y) (w : ∀ x : X, f x = g x) : f = g :=
  by
  apply (forget C).map_injective
  dsimp [forget]
  funext x
  exact w x

Похожие утверждения