English
Let L: C → D be a functor which is full and faithful. If for every functor F : C → H there exists a pointwise left Kan extension of F along L and for every F a (not necessarily pointwise) left Kan extension along L also exists, then the unit of the left Kan extension at F is an isomorphism. In particular, the comparison morphism from F to L followed by the left Kan extension is invertible componentwise.
Русский
Пусть L: C → D — полно и полно faithfully. Если для каждого перестановляемого F: C → H существует точечное левое каноническое расширение F вдоль L, и для каждого F существует левое каноническое расширение вдоль L, тогда единица соответствующего расширения на F является изоморфизмом. Компонентно единица расширения по F является изоморфизмом.
LaTeX
$$$ \\forall F:\\, \\mathcal{C} \\to \\mathcal{H},\\; \\operatorname{HasPointwiseLeftKanExtension}(L,F) \\land \\operatorname{HasLeftKanExtension}(L,F) \\Rightarrow \\operatorname{IsIso}(L.\\mathrm{lanUnit}.app F). $$$
Lean4
instance (F : C ⥤ H) [HasPointwiseLeftKanExtension L F] [∀ (F : C ⥤ H), HasLeftKanExtension L F] :
IsIso (L.lanUnit.app F) :=
NatIso.isIso_of_isIso_app _
