English
Let α: L ⋙ F′ ⟶ F be a right Kan extension datum with F′ being the right Kan extension along α. Then for any G : D ⥤ H and any two natural transformations γ1, γ2 : G ⟶ F′, if whiskering γ1 and γ2 on L and composing with α give the same morphism, i.e., whiskerLeft L γ1 ≫ α = whiskerLeft L γ2 ≫ α, then γ1 = γ2. In other words, γ ↦ whiskerLeft L γ is injective on the set of arrows to F′ when restricted via α.
Русский
Пусть α: L ⋙ F′ ⟶ F задаёт правое канитовское продолжение, и F′ является правым канитовским продолжением α. Тогда для любой G : D ⥤ H и любых двух естественных преобразований γ1, γ2 : G ⟶ F′, если левый «железопрокол» γ1 и γ2 по L и композиция с α совпадают, то γ1 = γ2. другими словами, отображение γ ↦ whiskerLeft L γ инъективно на множестве морфизмов в F′, ограниченном α.
LaTeX
$$$$\text{Let } G: D \to H,\; γ_1, γ_2: G \Rightarrow F',\; h_γ: (\mathrm{whiskerLeft}\ L\ γ_1) \; ≫ \alpha = (\mathrm{whiskerLeft}\ L\ γ_2) \; ≫ \alpha. \text{ Then } γ_1 = γ_2.$$$$
Lean4
theorem hom_ext_of_isRightKanExtension {G : D ⥤ H} (γ₁ γ₂ : G ⟶ F') (hγ : whiskerLeft L γ₁ ≫ α = whiskerLeft L γ₂ ≫ α) :
γ₁ = γ₂ :=
(F'.isUniversalOfIsRightKanExtension α).hom_ext hγ
