English
Under HasCoproducts, IsSeparating 𝒢 is equivalent to the condition that for every A, a certain sigma-descend map is epi.
Русский
При наличии кофакторовანი̆ных копрокопий IsSeparating 𝒢 эквивалентно тому, что для каждого A сопутствующая карта из сигма-Desc является эпиморфизмом.
LaTeX
$$$IsSeparating(\mathcal{G}) \iff \forall A:\,C,\; Epi\big(\Sigma.desc(\Sigma.snd)\big)$$$
Lean4
theorem isSeparating_iff_epi (𝒢 : Set C) [∀ A : C, HasCoproduct fun f : Σ G : 𝒢, (G : C) ⟶ A => (f.1 : C)] :
IsSeparating 𝒢 ↔ ∀ A : C, Epi (Sigma.desc (@Sigma.snd 𝒢 fun G => (G : C) ⟶ A)) :=
by
refine ⟨fun h A => ⟨fun u v huv => h _ _ fun G hG f => ?_⟩, fun h X Y f g hh => ?_⟩
· simpa using Sigma.ι (fun f : Σ G : 𝒢, (G : C) ⟶ A => (f.1 : C)) ⟨⟨G, hG⟩, f⟩ ≫= huv
· haveI := h X
refine (cancel_epi (Sigma.desc (@Sigma.snd 𝒢 fun G => (G : C) ⟶ X))).1 (colimit.hom_ext fun j => ?_)
simpa using hh j.as.1.1 j.as.1.2 j.as.2
