isWide_iff_objs_eq_univ — Mathlib

English

A subgroupoid S is wide if and only if its object set equals the universal set of objects.

Русский

Подгруппоида S широка тогда и только тогда, когда множество её объектов равно.all объекты.

LaTeX

$$S.IsWide ↔ S.objs = Set.univ$$

Lean4

theorem isWide_iff_objs_eq_univ : S.IsWide ↔ S.objs = Set.univ :=
  by
  constructor
  · rintro h
    ext x; constructor <;> simp only [mem_univ, imp_true_iff, forall_true_left]
    apply mem_objs_of_src S (h.wide x)
  · rintro h
    refine ⟨fun c => ?_⟩
    obtain ⟨γ, γS⟩ := (le_of_eq h.symm : ⊤ ⊆ S.objs) (Set.mem_univ c)
    exact id_mem_of_src S γS

Похожие утверждения