natTrans_eq — Mathlib

English

A natural transformation between functors in Karoubi C ⥤ D is determined by its value on objects coming from C.

Русский

Натурный преобразователь между функторными объектами в Karoubi C ⥤ D определяется его значением на объектах, приходящих из C.

LaTeX

$$\\phi_{P} = F.map (decompId_i P) \\circ \\phi_{P.X} \\circ G.map (decompId_p P)$$

Lean4

/-- A natural transformation between functors `Karoubi C ⥤ D` is determined
by its value on objects coming from `C`. -/
theorem natTrans_eq {F G : Karoubi C ⥤ D} (φ : F ⟶ G) (P : Karoubi C) :
    φ.app P = F.map (decompId_i P) ≫ φ.app P.X ≫ G.map (decompId_p P) :=
  by
  rw [← φ.naturality, ← assoc, ← F.map_comp]
  conv_lhs => rw [← id_comp (φ.app P), ← F.map_id]
  congr
  apply decompId

Похожие утверждения