map_ι_comp_isoObjConePointsOfIsColimit_hom

English

Characterize the forward direction of the isomorphism between colimits, via the canonical injections, showing equality of two composites.

Русский

Характеризуется прямая часть изоморфизма между колимитами через канонические инъекции, показывая равенство двух композициeй.

LaTeX

$$$\\text{Eq }(G.map(c1.ι.app j1)\\app (K2.obj j2)\\cdot G.obj colimK1.map(colimK2 ι j2)) (colim ι (uncurry.obj(whiskeringLeft₂ C|>.obj K1|>.obj K2|>.obj G)) j)$$$

Lean4

/-- Characterize the forward direction of the isomorphism
`PreservesColimit₂.isoObjCoconePointsOfIsColimit` w.r.t. the canonical maps to the colimit. -/
@[reassoc (attr := simp)]
theorem map_ι_comp_isoObjConePointsOfIsColimit_hom (j : J₁ × J₂) :
    (G.map (c₁.ι.app j.1)).app (K₂.obj j.2) ≫
        (G.obj c₁.pt).map (c₂.ι.app j.2) ≫ (isoObjCoconePointsOfIsColimit G hc₁ hc₂ hc₃).hom =
      c₃.ι.app j :=
  by
  rw [← Category.assoc, ← Iso.eq_comp_inv]
  simp

Похожие утверждения