English
The preimage of a nonunital subalgebra under a nonunital algebra homomorphism is again a nonunital subalgebra. In other words, if f: A → B is a nonunital algebra homomorphism and S ⊆ B is a nonunital subalgebra, then comap f S = { a ∈ A | f(a) ∈ S } is a nonunital subalgebra of A.
Русский
Предобраз непустой немономодульной подалгебры подмодуля подалгебры под гомоморфизмом сохранения бесконечной малой алгебры является подалгеброй. Пусть f: A → B — гомоморфизм без единицы, S ⊆ B — подалгебра; тогда comap f S = { a ∈ A | f(a) ∈ S } образует подалгебру A без единицы.
LaTeX
$$$\\mathrm{comap}_f(S) = \\{ a \\in A \\mid f(a) \\in S \\}$$$
Lean4
/-- Preimage of a non-unital subalgebra under an algebra homomorphism. -/
def comap (f : F) (S : NonUnitalSubalgebra R B) : NonUnitalSubalgebra R A :=
{ S.toNonUnitalSubsemiring.comap (f : A →ₙ+* B) with
smul_mem' := fun r a (ha : f a ∈ S) =>
show f (r • a) ∈ S from (map_smulₛₗ f r a).symm ▸ SMulMemClass.smul_mem r ha }
