components_matrix — Mathlib

English

There is a canonical equivalence between morphisms from the biproduct ∐ f to ∐ g and the family of morphisms f(j) → g(k) indexed by j ∈ J and k ∈ K; the forward map is given by biproduct.components and the inverse by biproduct.matrix, with the obvious inverses.

Русский

Существует каноническое эквивалентность между морфизмами из би-продукта ∐ f в ∐ g и семейством морфизмов f(j) → g(k), индексированным по j ∈ J и k ∈ K; переход вперёд задан компонентами биопродукта, обратный — матрицей, с очевидными обратными операциями.

LaTeX

$$$ (\\,\\_\\!\\! \\text{Hom}(\\bigoplus f, \\bigoplus g) \\simeq \\forall j,k, \\mathrm{Hom}(f j, g k) ) $$$

Lean4

@[simp]
theorem components_matrix (m : ⨁ f ⟶ ⨁ g) : (biproduct.matrix fun j k => biproduct.components m j k) = m :=
  by
  ext
  simp [biproduct.components]

Похожие утверждения