map_ext — Mathlib

English

The inverse of productEquiv applied to x recovers the component x_j via the corresponding projection.

Русский

Обратный к productEquiv применённый к x восстанавливает компоненту x_j через соответствующую проекцию.

LaTeX

$$$ \\mathrm{productEquiv} F^{-1} x \\, j = x j $$$

Lean4

theorem map_ext (x y : ToType (F.obj (∏ᶜ f : C))) (h : ∀ i, F.map (Pi.π f i) x = F.map (Pi.π f i) y) : x = y :=
  by
  apply ConcreteCategory.injective_of_mono_of_preservesPullback (PreservesProduct.iso F f).hom
  apply Concrete.limit_ext _ (piComparison F _ x) (piComparison F _ y)
  intro ⟨j⟩
  rw [← ConcreteCategory.comp_apply, ← ConcreteCategory.comp_apply, piComparison_comp_π]
  exact h j

Похожие утверждения