English
For f: X → Y and i: U → Y with a pullback, the pullback along diagonal f interacting with map data produces the fst projection from the appropriate pullback object, i.e. the snd-projection composed with the fst-projection equals the fst projection of the pullback of diagonal f with map data.
Русский
Пусть f: X → Y и i: U → Y задают диагональный переход; интеграция диагонали f с данными отображения map даёт проекцию fst соответствующего предельного объекта; композиция snd-проекции с fst-проекцией даёт та же результат на предм目标.
LaTeX
$$$$\text{pullback.snd}(\text{diagonal}(f),\text{map}(\cdot)) \\gg\ fst\ _\ _ = \ pullback.fst\ _\ _ $$$$
Lean4
@[reassoc (attr := simp)]
theorem pullback_diagonal_map_snd_snd_fst :
(pullback.snd (diagonal f)
(map (i₁ ≫ snd f i) (i₂ ≫ snd f i) f f (i₁ ≫ fst f i) (i₂ ≫ fst f i) i (by simp [condition])
(by simp [condition]))) ≫
snd _ _ ≫ i₂ ≫ fst _ _ =
pullback.fst _ _ :=
by
conv_rhs => rw [← Category.comp_id (pullback.fst _ _)]
rw [← diagonal_snd f, pullback.condition_assoc, pullback.lift_snd]
