English
Consider ψ : CatCospanTransform F G F₁ G₁ and functors X ⥤ Y, with U,V : X ⥤ Y and α : U ⟶ V. The naturality relation states that whiskering the transform with ψ on X and composing with iso on the target Y yields the same as whiskering with ψ on Y and composing with precompose morphisms, reflecting naturality of the transform square.
Русский
Рассматривается ψ : CatCospanTransform F G F₁ G₁ и функторы X ⥤ Y, а также U,V : X ⥤ Y и α : U ⟶ V. Естественная связь говорит, что штрихование преобразования с ψ на X и композиция с изоморфизмами в целевой категории Y эквивалентны штрихованию с ψ на Y и композиции с превоположениями, отражая естественность квадрата преобразования.
LaTeX
$$$ \\ whiskerRight( (\\text{precompose } F G).map \\alpha) (\\text{transform } X|>.obj ψ) \\\\; ≔ \\\\ (\\CatCommSq.iso _ (\\text{transform Y}|>.obj ψ) _ (\\text{precompose } F G|>.obj V)).hom \\;\\circ\\; \\mathrm{whiskerLeft}(\\text{transform Y}|>.obj ψ) (\\text{precomposeObjComp } F G U V).hom $$$
Lean4
/-- The square `precomposeObjTransformObjSquare` is itself natural. -/
theorem precomposeObjTransformObjSquare_iso_hom_naturality₂ {X : Type u₇} {Y : Type u₈} [Category.{v₇} X]
[Category.{v₈} Y] (ψ : CatCospanTransform F G F₁ G₁) {U V : X ⥤ Y} (α : U ⟶ V) :
whiskerRight (precompose F G |>.map α) (transform X |>.obj ψ) ≫
(CatCommSq.iso _ (transform Y |>.obj ψ) _ (precompose F₁ G₁ |>.obj V)).hom =
(CatCommSq.iso _ (transform Y |>.obj ψ) _ (precompose F₁ G₁ |>.obj U)).hom ≫
whiskerLeft (transform Y |>.obj ψ) (precompose F₁ G₁ |>.map α) :=
by cat_disch
