W_iff_isIso — Mathlib

English

If X and Y satisfy P, then W f is equivalent to f being an isomorphism; hence W captures invertible arrows on localized objects.

Русский

Если X и Y удовлетворяют P, то W f эквивалентен тому, что f является изоморфизмом; следовательно, W фиксирует обратимые стрелки на локализованных объектах.

LaTeX

$$$W P f \\;\\iff\\; IsIso f$ (under $P X, P Y$)$$

Lean4

theorem W_iff_isIso {X Y : C} (f : X ⟶ Y) (hX : P X) (hY : P Y) : W P f ↔ IsIso f :=
  by
  constructor
  · intro hf
    obtain ⟨g, hg⟩ := (hf _ hX).2 (𝟙 X)
    exact ⟨g, hg, (hf _ hY).1 (by simp only [reassoc_of% hg, comp_id])⟩
  · apply W_of_isIso

Похожие утверждения