English
There is a canonical counit isomorphism describing the adjunction between the localization and the limit-construction along a finite shape J; applied to a diagram F, this counit equals a canonical composite built from limit and constant-diagram isomorphisms, yielding an explicit description of the counit at F.
Русский
Существует каноническое равенство каунимоподобного изотропизма, описывающее адъюнкцию между локализацией и конструированием предела по форме J; применённое к диаграмме F, каунил-образ равен канонической композиции, построенной из предела и изоморфизмов константной диаграммы, дающей явное описание каунийтора в отношении F.
LaTeX
$$$\\text{counit}_{\\text{adj}}(F) = (\\text{const}_{\\mathrm{Discrete} J}).map ((\\text{compLimitFunctorIso} L W J).hom.app F) \\; \\circ \\, (\\text{compConstIso} (\\mathrm{Discrete} J) L).hom.app (\\lim.obj F) \\; \\circ \\, \\mathrm{whiskerRight} (\\text{constLimAdj.counit.app } F) L$$$
Lean4
theorem adj_counit_app (F : Discrete J ⥤ C) :
(adj L W J).counit.app (F ⋙ L) =
(Functor.const (Discrete J)).map ((compLimitFunctorIso L W J).hom.app F) ≫
(Functor.compConstIso (Discrete J) L).hom.app (lim.obj F) ≫ whiskerRight (constLimAdj.counit.app F) L :=
by apply constLimAdj.localization_counit_app
