equiv_equiv_symm — Mathlib

English

The map induced by the equivalence is compatible with symmetry: equivalence of L' and L via G equals the action of G on f via the op-construction.

Русский

Сęйственное отображение эквивалентности согласуется с симметрикой: эквивалентность L' и L через G соответствует действию G на f через оп-конструкцию.

LaTeX

$$$\text{equiv}_{W,L'}((\text{equiv}_{W,L})^{-1} f) = e^{-1}_{\!X} \circ G(f) \circ e_{\!Y}$$$

Lean4

theorem equiv_equiv_symm (L : C ⥤ D) [L.IsLocalization W] (L' : C ⥤ D') [L'.IsLocalization W] (G : D ⥤ D')
    (e : L ⋙ G ≅ L') {X Y : C} [HasSmallLocalizedHom.{w} W X Y] (f : L.obj X ⟶ L.obj Y) :
    equiv W L' ((equiv W L).symm f) = e.inv.app X ≫ G.map f ≫ e.hom.app Y :=
  by
  dsimp [equiv]
  rw [Equiv.symm_apply_apply, homEquiv_trans]
  apply homEquiv_eq

Похожие утверждения