English
Let G be a group acting on a group H, with the actions compatible in the sense of a scalar-tower and commutativity conditions. Then for every g ∈ G and a ∈ H, the inverse of the action is the action of the inverse: (g • a)^{-1} = g^{-1} • a^{-1}.
Русский
Пусть G — группа, действующая на группу H, и эти действия совместимы в смысле башни скаляров и условия смулы-коммутативности. Тогда для любых g ∈ G и a ∈ H выполняется (g • a)^{-1} = g^{-1} • a^{-1}.
LaTeX
$$$ (g \cdot a)^{-1} = g^{-1} \cdot a^{-1} $$$
Lean4
theorem smul_inv (g : G) (a : H) : (g • a)⁻¹ = g⁻¹ • a⁻¹ :=
inv_eq_of_mul_eq_one_right <| by rw [smul_mul_smul_comm, mul_inv_cancel, mul_inv_cancel, one_smul]
