Русский
Альтернативная формулировка утверждает, что левое Кан-расширение в Extension Unit Right соблюдается для тех же данных, что и в 76355, выраженная иным образом.
LaTeX
$$$\\text{isPointwiseLeftKanExtensionAtExtensionUnitRightAlt} : \\forall d,e, (H' \\boxtimes K)\\text{ является точечным левым Кан-расширением на } (Id_E \\times L)\\text{ в }(e,d)$$$
Lean4
theorem inductionOn {motive : {X Y : F C} → (X ⟶ Y) → Prop} {X Y : F C} (t : X ⟶ Y) (id : (X : F C) → motive (𝟙 X))
(α_hom : (X Y Z : F C) → motive (α_ X Y Z).hom) (α_inv : (X Y Z : F C) → motive (α_ X Y Z).inv)
(l_hom : (X : F C) → motive (λ_ X).hom) (l_inv : (X : F C) → motive (λ_ X).inv)
(ρ_hom : (X : F C) → motive (ρ_ X).hom) (ρ_inv : (X : F C) → motive (ρ_ X).inv)
(comp : {X Y Z : F C} → (f : X ⟶ Y) → (g : Y ⟶ Z) → motive f → motive g → motive (f ≫ g))
(whiskerLeft : (X : F C) → {Y Z : F C} → (f : Y ⟶ Z) → motive f → motive (X ◁ f))
(whiskerRight : {X Y : F C} → (f : X ⟶ Y) → (Z : F C) → motive f → motive (f ▷ Z)) : motive t :=
by
apply Quotient.inductionOn
intro f
induction f with
| id X => exact id X
| α_hom X Y Z => exact α_hom X Y Z
| α_inv X Y Z => exact α_inv X Y Z
| l_hom X => exact l_hom X
| l_inv X => exact l_inv X
| ρ_hom X => exact ρ_hom X
| ρ_inv X => exact ρ_inv X
| comp f g hf hg => exact comp _ _ (hf ⟦f⟧) (hg ⟦g⟧)
| whiskerLeft X f hf => exact whiskerLeft X _ (hf ⟦f⟧)
| whiskerRight f X hf => exact whiskerRight _ X (hf ⟦f⟧)
| @tensor W X Y Z f g hf
hg =>
have : homMk f ⊗ₘ homMk g = homMk f ▷ X ≫ Y ◁ homMk g := Quotient.sound (HomEquiv.tensorHom_def f g)
change motive (homMk f ⊗ₘ homMk g)
rw [this]
exact comp _ _ (whiskerRight _ _ (hf ⟦f⟧)) (whiskerLeft _ _ (hg ⟦g⟧))
