English
Let F be a faithful functor and consider a threefold pullback P = pullback3 of hf1 with f2 and f3. Then any two arrows into P are equal if they agree after composing with each of the three projection maps p1, p2, p3. In other words, morphisms into the triple pullback are determined by their three projections when the target functor is faithful.
Русский
Пусть F — доверительный функтор и рассмотрим тройной pullback P = pullback3hf1 f2 f3. Любые две стрелки в P из произвольного объекта Z совпадают, если их композиции с каждым из трех проекций p1, p2, p3 совпадают. То есть морфизмы в тройной pullback определяются их тремя проекциями при верном өтсловании наобразования.
LaTeX
$$$\text{Let }F\text{ be faithful and }P=\text{pullback}_3( hf_1, f_2, f_3).\; \forall Z,\; \varphi,\psi: Z\to P,\; \varphi\circ p_i=\psi\circ p_i\ (i=1,2,3) \Rightarrow \varphi=\psi.$$$
Lean4
@[ext]
theorem hom_ext [Faithful F] {Z : C} {φ φ' : Z ⟶ pullback₃ hf₁ f₂ f₃}
(h₁ : φ ≫ pullback₃.p₁ hf₁ f₂ f₃ = φ' ≫ pullback₃.p₁ hf₁ f₂ f₃)
(h₂ : φ ≫ pullback₃.p₂ hf₁ f₂ f₃ = φ' ≫ pullback₃.p₂ hf₁ f₂ f₃)
(h₃ : φ ≫ pullback₃.p₃ hf₁ f₂ f₃ = φ' ≫ pullback₃.p₃ hf₁ f₂ f₃) : φ = φ' := by
apply pullback.hom_ext <;> ext <;> simpa
