English
For any objects X, Y in a preadditive category, the abelian group Hom(X, Y) carries a left module structure over End(X)ᵐᵒᵖ, given by the action α · f = f ∘ α.unop for α ∈ End(X)ᵐᵒᵖ and f ∈ Hom(X, Y).
Русский
Для любых объектов X, Y прeадитивной категории множество морфизмов Hom(X, Y) имеет структуру левого модуля над End(X)ᵐᵒᵖ; действие задано α · f = f ∘ α^{-1} (где α ∈ End(X)ᵐᵒᵖ, f ∈ Hom(X, Y)).
LaTeX
$$$ \\alpha \\cdot f = f \\circ \\alpha \\quad (\\alpha \\in \\mathrm{End}(X)^{\\mathrm{op}},\\ f \\in \\mathrm{Hom}(X,Y)) $$$
Lean4
instance moduleEndLeft {X Y : C} : Module (End X)ᵐᵒᵖ (X ⟶ Y)
where
smul_add _ _ _ := Preadditive.comp_add _ _ _ _ _ _
smul_zero _ := Limits.comp_zero
add_smul _ _ _ := Preadditive.add_comp _ _ _ _ _ _
zero_smul _ := Limits.zero_comp
