projective_of_map_projective — Mathlib

English

Let F : C ⥤ D and G : D ⥤ C form an adjunction. If F maps a projective P to a projective F.obj P, then P is projective in C provided F is full and faithful and preserves epimorphisms accordingly.

Русский

Пусть F : C ⥤ D и G : D ⥤ C образуют тождество. Если F отображает проективный объект P в проективный F.obj P, тогда P проективен в C при условии, что F полно и достоверно сохраняет эпиморфизмы.

LaTeX

$$$ (\\forall P)\\ (\\mathrm{Projective}(F\\!.(P)) \\Rightarrow \\mathrm{Projective}(P)) $$$

Lean4

theorem projective_of_map_projective [F.Full] [F.Faithful] [F.PreservesEpimorphisms] {P : C}
    (hP : Projective (F.obj P)) : Projective P where
  factors g f
    _ := by
    obtain ⟨h, fac⟩ := hP.factors (F.map g) (F.map f)
    exact ⟨F.preimage h, F.map_injective (by simp [fac])⟩

Похожие утверждения