isSheafFor_regular_of_projective — Mathlib

English

If every object of C is projective, then any presheaf F on C is a sheaf for the regular topology on C.

Русский

Если каждый объект C является проективным, то любая префунктор F над C является sheaf для регулярнойTopology на C.

LaTeX

$$isSheaf_of_projective (F : C^{op} ⥤ D)$$

Lean4

theorem isSheafFor_regular_of_projective {X : C} (S : Presieve X) [S.regular] [Projective X] (F : Cᵒᵖ ⥤ Type*) :
    S.IsSheafFor F := by
  obtain ⟨Y, f, rfl, hf⟩ := Presieve.regular.single_epi (R := S)
  rw [isSheafFor_arrows_iff]
  refine fun x hx ↦ ⟨F.map (Projective.factorThru (𝟙 _) f).op <| x (), fun _ ↦ ?_, fun y h ↦ ?_⟩
  · simpa using (hx () () Y (𝟙 Y) (f ≫ (Projective.factorThru (𝟙 _) f)) (by simp)).symm
  ·
    simp only [← h (), ← FunctorToTypes.map_comp_apply, ← op_comp, Projective.factorThru_comp, op_id,
      FunctorToTypes.map_id_apply]

Похожие утверждения