effectiveEpimorphic_singleton — Mathlib

English

For any category C, a morphism f: Y ⟶ X is an effective epimorphism if and only if the sieve generated by the singleton {f} is effective epi. Equivalently, the singleton sieve detects effective epimorphisms.

Русский

Для любой категории C морфизм f: Y ⟶ X является эффективной эпиморфностью тогда и только тогда, когда синевица, порождаемая синглетоном {f}, является эффективной эпиморфией.

LaTeX

$$$ (Presieve.singleton f).EffectiveEpimorphic \\leftrightarrow (EffectiveEpi f) $$$

Lean4

theorem effectiveEpimorphic_singleton {X Y : C} (f : Y ⟶ X) :
    (Presieve.singleton f).EffectiveEpimorphic ↔ (EffectiveEpi f) :=
  by
  constructor
  · intro (h : Nonempty _)
    rw [Sieve.generateSingleton_eq] at h
    constructor
    apply Nonempty.map (effectiveEpiStructOfIsColimit _) h
  · rintro ⟨h⟩
    change Nonempty _
    rw [Sieve.generateSingleton_eq]
    apply Nonempty.map (isColimitOfEffectiveEpiStruct _) h

Похожие утверждения