English
Let X, Y be objects in a category, F a sheaf on a Grothendieck topology J. For any morphism f : J.yoneda.obj X → F and any g : Y → X, the Yoneda equivalence is natural in g: F.map g^op (yonedaEquiv f) = yonedaEquiv (yoneda.map g ≫ f).
Русский
Пусть X, Y — объекты в категории, F — оболочка на топологию J. Для любого гомоморфизма f : J.yoneda.obj X → F и любого g : Y → X натуральность эквивалентности Янеда означает: F.map g^op (yonedaEquiv f) = yonedaEquiv (yoneda.map g ≫ f).
LaTeX
$$$F.map\ g^{op}\ (J.yonedaEquiv\ f) = J.yonedaEquiv\ (J.yoneda.map\ g\ ≫\ f)$$$
Lean4
/-- See also `yonedaEquiv_naturality'` for a more general version. -/
theorem yonedaEquiv_naturality {X Y : C} {F : Sheaf J (Type v)} (f : J.yoneda.obj X ⟶ F) (g : Y ⟶ X) :
F.val.map g.op (J.yonedaEquiv f) = J.yonedaEquiv (J.yoneda.map g ≫ f) :=
by
simp [yonedaEquiv, CategoryTheory.yonedaEquiv_naturality]
rfl
