English
Let J be a Grothendieck topology on a category C. If F is a sheaf for J and G is a subsheaf of F which is itself a sheaf for J, then G equals its J-sheafification: G = G.sheafify J.
Русский
Пусть J — топология Грота на категорию C. Если F является шарфа для J и G — подшейф из F, который тоже является шарфом для J, то G равно своей шейфайфикации по J: G = G.sheafify J.
LaTeX
$$$ G = \\mathrm{sheafify}_J(G) $$$
Lean4
theorem eq_sheafify (h : Presieve.IsSheaf J F) (hG : Presieve.IsSheaf J G.toPresheaf) : G = G.sheafify J :=
by
apply (G.le_sheafify J).antisymm
intro U s hs
suffices ((hG _ hs).amalgamate _ (G.family_of_elements_compatible s)).1 = s
by
rw [← this]
exact ((hG _ hs).amalgamate _ (G.family_of_elements_compatible s)).2
apply (h _ hs).isSeparatedFor.ext
intro V i hi
exact (congr_arg Subtype.val ((hG _ hs).valid_glue (G.family_of_elements_compatible s) _ hi) :)
