instEpiSheafTypeToImage — Mathlib

English

For any f between sheaves, the natural map toImage f is epi.

Русский

Для любого отображения f между шарфами естественный отображение toImage f является эпиморфизмом.

LaTeX

$$$ \\mathrm{Epi}(\\mathrm{Sheaf.toImage}(f)) $$$

Lean4

instance {F F' : Sheaf J (Type w)} (f : F ⟶ F') : Epi (Sheaf.toImage f) :=
  by
  refine ⟨@fun G' g₁ g₂ e => ?_⟩
  ext U ⟨s, hx⟩
  apply ((isSheaf_iff_isSheaf_of_type J _).mp G'.2 _ hx).isSeparatedFor.ext
  rintro V i ⟨y, e'⟩
  change (g₁.val.app _ ≫ G'.val.map _) _ = (g₂.val.app _ ≫ G'.val.map _) _
  rw [← NatTrans.naturality, ← NatTrans.naturality]
  have E : (Sheaf.toImage f).val.app (op V) y = (Sheaf.image f).val.map i.op ⟨s, hx⟩ := Subtype.ext e'
  have := congr_arg (fun f : F ⟶ G' => (Sheaf.Hom.val f).app _ y) e
  dsimp at this ⊢
  convert this <;> exact E.symm

Похожие утверждения