English
Let Φ be a SuccStruct in a category C, and J a well-ordered index type with bottom. For indices i1 ≤ i2 and j with i2 ≤ j, the canonical arrow coming from mapping along i1 ≤ i2 equals the arrow obtained by applying the F-map to homOfLE(h1₂). In other words, the two natural ways of composing along the inclusion i1 → i2 agree.
Русский
Пусть Φ —结构 Succ в категории C, J — хорошо упорядоченный индексный тип с нулём. Для i1 ≤ i2 и j с i₂ ≤ j каноническое отображение, получаемое из отображения вдоль i1 ≤ i2, совпадает с отображением через F-маршрутизм к homOfLE(h₁₂). Утверждается согласованность двух способов композиции вдоль вложения i1 → i2.
LaTeX
$$$Arrow.mk ((Φ.iterationFunctor J).map (homOfLE h_{12})) = Arrow.mk (iter.F.map (homOfLE h_{12}))$$$
Lean4
theorem arrowMk_iterationFunctor_map (i₁ i₂ : J) (h₁₂ : i₁ ≤ i₂) {j : J} (iter : Φ.Iteration j) (hj : i₂ ≤ j) :
Arrow.mk ((Φ.iterationFunctor J).map (homOfLE h₁₂)) =
Arrow.mk (iter.F.map (homOfLE h₁₂ : ⟨i₁, h₁₂.trans hj⟩ ⟶ ⟨i₂, hj⟩)) :=
by
dsimp [iterationFunctor]
rw [Iteration.arrow_mk_mapObj]
exact Arrow.ext (Iteration.congr_obj _ _ _ _ _) (Iteration.congr_obj _ _ _ _ _) (Iteration.congr_map _ _ _ _ _)
