English
Let C be a category with finite limits and D any category, and S : C ⥤ D a functor that preserves finite limits. For a structured arrow A : S ⇒ T, every subobject P of A factors through the induced map from the projection of P; i.e., there exists a morphism q such that A.hom = q ∘ T.map (projectSubobject P).arrow.
Русский
Пусть C имеет конечные границы, D произвольна; S: C ⥤ D сохраняет конечные пределы. Пусть A: S ⇒ T — структурированная стрелка. Тогда каждый подобъект P A факторизуется через образ проектации P: существет морфизм q такой, что A.hom = q ∘ T.map (projectSubobject P).arrow.
LaTeX
$$$\\\\forall P \\\\in \mathrm{Sub}(A), \\\\exists q, A.hom = q \\\\\\circ \\, T\\\\operatorname{map} (\\\\mathrm{projectSubobject}(P)).\\\\operatorname{arrow}.$$$
Lean4
theorem projectSubobject_factors [HasFiniteLimits C] [PreservesFiniteLimits T] {A : StructuredArrow S T} :
∀ P : Subobject A, ∃ q, q ≫ T.map (projectSubobject P).arrow = A.hom :=
Subobject.ind _ fun P f hf => ⟨P.hom ≫ T.map (Subobject.underlyingIso _).inv, by simp [← T.map_comp]⟩
