English
If a category C has a subobject classifier and pullbacks, then every monomorphism is regular; in particular, C is a regular mono category and thus balanced.
Русский
Если у категории C есть классификатор подмножеств и существуют взятия декаппирования, то любая мономорфизм является регулярным; следовательно, C является регулярной монокатегорией и, как следствие, сбалансированной.
LaTeX
$$$\forall m: U \to X,\; Mono(m) \Rightarrow RegularMono(m)$$$
Lean4
/-- The following diagram
```
U ---------m----------> X
| |
χ₀ U χ m
| |
v v
Ω₀ ------truth--------> Ω
```
being a pullback for any monic `m` means that every monomorphism
in `C` is the pullback of a regular monomorphism; since regularity
is stable under base change, every monomorphism is regular.
Hence, `C` is a regular mono category.
It also follows that `C` is a balanced category.
-/
instance isRegularMonoCategory : IsRegularMonoCategory C where
regularMonoOfMono := fun m => ⟨regularOfIsPullbackFstOfRegular (isPullback_χ m).w (isPullback_χ m).isLimit⟩
