isZero₂_iff — Mathlib

English

Rotation of the isZero conditions shows that if obj1 and obj3 are zero, then obj2 is zero; the reverse implication similarly holds under the triangulated structure.

Русский

Поворот условий нуля показывает, что если obj1 и obj3 нулевые, то obj2 нулевой; противоположная импликация тоже верна в структуре треугольника.

LaTeX

$$$IsZero(T.obj_1) \\land IsZero(T.obj_3) \\Rightarrow IsZero(T.obj_2)$ plus converse under rotation$$

Lean4

theorem isZero₂_iff : IsZero T.obj₂ ↔ (T.mor₁ = 0 ∧ T.mor₂ = 0) :=
  by
  constructor
  · intro h
    exact ⟨h.eq_of_tgt _ _, h.eq_of_src _ _⟩
  · intro ⟨h₁, h₂⟩
    obtain ⟨f, hf⟩ := coyoneda_exact₂ T hT (𝟙 _) (by rw [h₂, comp_zero])
    rw [IsZero.iff_id_eq_zero, hf, h₁, comp_zero]

Похожие утверждения