moebius_inversion_bot — Mathlib

English

Euler characteristic is invariant under order dual: eulerChar 𝕜 αᵒᵈ = eulerChar 𝕜 α.

Русский

Эйлерова характеристика сохраняется при переходе к двойственному порядку: eulerChar 𝕜 αᵒᵈ = eulerChar 𝕜 α.

LaTeX

$$$ eulerChar 𝕜 α^{\mathrm{op}} = eulerChar 𝕜 α $$$

Lean4

/-- A general form of Möbius inversion. Based on lemma 2.1.3 of Incidence Algebras by Spiegel and
O'Donnell. -/
theorem moebius_inversion_bot (f g : α → 𝕜) (h : ∀ x, g x = ∑ y ∈ Iic x, f y) (x : α) :
    f x = ∑ y ∈ Iic x, mu 𝕜 y x * g y :=
  by
  convert moebius_inversion_top (α := αᵒᵈ) f g h x using 3
  rw [← mu_toDual]; rfl

Похожие утверждения