English
For independent I, Indep(I ∪ {e}) holds iff e ∈ E \ cl(I) or e ∈ I.
Русский
Для независимого I Indep(I ∪ {e}) выполняется тогда или когда e ∈ E \ cl(I) или e ∈ I.
LaTeX
$$$\operatorname{Indep}(I \cup \{e\}) \iff e \in E \setminus \operatorname{cl}(I) \lor e \in I$$$
Lean4
theorem insert_indep_iff (hI : M.Indep I) : M.Indep (insert e I) ↔ e ∈ M.E \ M.closure I ∨ e ∈ I :=
by
obtain (h | h) := em (e ∈ I)
· simp_rw [insert_eq_of_mem h, iff_true_intro hI, true_iff, iff_true_intro h, or_true]
rw [hI.insert_indep_iff_of_notMem h, or_iff_left h]