English
Let β be a poset with binary sup and bottom, and assume Well-Founded GT on β. For any f: α → β, there exists a finite subset t ⊆ α such that for every a ∈ α, f(a) ≤ sup_{x∈t} f(x).
Русский
Пусть β — частично упорядоченное множество сoperation̆м ⊔ и нулем ⊥, и пусть GT-условие гарантирует хорошо определяемую минимальность. Для любой функции f: α → β существует конечный подмножество t ⊆ α такое, что для каждого a ∈ α выполняется f(a) ≤ sup_{x∈t} f(x).
LaTeX
$$$ \exists t : Finset(\,α\,), \forall a,\; f(a) \le t.sup f $$$
Lean4
theorem exists_sup_ge [SemilatticeSup β] [OrderBot β] [WellFoundedGT β] (f : α → β) :
∃ t : Finset α, ∀ a, f a ≤ t.sup f := by
cases isEmpty_or_nonempty α
· exact ⟨⊥, isEmptyElim⟩
obtain ⟨_, ⟨t, rfl⟩, ht⟩ := wellFounded_gt.has_min _ (Set.range_nonempty (sup · f))
refine ⟨t, fun a ↦ ?_⟩
classical
have := ht (f a ⊔ t.sup f) ⟨insert a t, by simp⟩
rwa [GT.gt, right_lt_sup, not_not] at this
