prod_span — Mathlib

English

Span multiplication distributes over finite products: the span of a product of sets equals the product of their spans.

Русский

Замыкание произведения распределяется над конечными произведениями множеств: разность пружинения равна произведению их замещений.

LaTeX

$$$\mathrm{prod}\;\mathrm{span}(M_i) = \mathrm{span}(\prod_i M_i)$$$

Lean4

theorem prod_span {ι : Type*} (s : Finset ι) (M : ι → Set A) :
    (∏ i ∈ s, Submodule.span R (M i)) = Submodule.span R (∏ i ∈ s, M i) :=
  by
  letI := Classical.decEq ι
  refine Finset.induction_on s ?_ ?_
  · simp [one_eq_span, Set.singleton_one]
  · intro _ _ H ih
    rw [Finset.prod_insert H, Finset.prod_insert H, ih, span_mul_span]

Похожие утверждения