English
Let b and n be natural numbers. In any semifield with a compatible order, the logarithm of n, treating n as an element of the ambient field, equals the natural-number logarithm of n, viewed in the same field. In symbols, log_b(n) = Nat.log b n (as an element of the ambient field).
Русский
Пусть b и n — натуральные числа. В любой полувещественной области, совместимой с порядком, логарифм числа n через основание b, когда n рассматривается как элемент поля, равен логарифму Natlog(b, n) (рассматриваемому как элемент того же поля). То есть log_b(n) = Nat.log b n в поле.
LaTeX
$$$\log_b(n) = \mathrm{Nat\log}\, b\, n\quad\text{(в области }\mathbb{R}\text{, т.е._cast of Nat.log b n)}$$$
Lean4
@[simp, norm_cast]
theorem log_natCast (b : ℕ) (n : ℕ) : log b (n : R) = Nat.log b n :=
by
cases n
· simp [log_of_right_le_one]
· rw [log_of_one_le_right, Nat.floor_natCast]
simp
