English
For even n, the additive submonoid generated by all n-th powers of integers equals the nonnegative integers: AddSubmonoid.closure(range x ↦ x^n) = AddSubmonoid.nonneg ℤ.
Русский
Для чётного n аддитивное подмоноидное множество, порождённое всеми n-й степенью целых, совпадает с неотрицательными целыми: AddSubmonoid.closure(range x ↦ x^n) = AddSubmonoid.nonneg ℤ.
LaTeX
$$$\operatorname{AddSubmonoid.closure}(\operatorname{Set.range}(x \mapsto x^n)) = \operatorname{AddSubmonoid.nonneg}(\mathbb{Z}) \quad \text{при去 чётном } n$$$
Lean4
@[simp]
theorem addSubmonoid_closure_range_pow {n : ℕ} (hn : Even n) : closure (range fun x : ℤ ↦ x ^ n) = nonneg _ :=
by
refine le_antisymm (closure_le.2 <| range_subset_iff.2 hn.pow_nonneg) fun x hx ↦ ?_
have : x = x.natAbs • 1 ^ n := by simpa [eq_comm (a := x)] using hx
rw [this]
exact nsmul_mem (subset_closure <| mem_range_self _) _
