РАССЕЯНИЯ МАТРИЦА, $S$-МАТРИЦА, В КВАНТОВОЙ ТЕОРИИ

оператор $S$, переводящий состояние системы (точнее, состояния вектор) $\Phi_{-\infty}$ до рассеяния (или реакции) в состояние $\Phi_{+\infty}$ после рассеяния: \[ \Phi_{+\infty}=S \Phi_{-\infty} \] В конкретном представлении таким оператором является матрица, строки и столбцы к-рой удобно нумеровать значениями полного набора физич. величин, сохраняющихся при свободном движении частиц. Р. м. имеет важное значение в квантовой механике и является одним из основных объектов в квантовой теории поля. Понятие Р. м. возникает в квантовомеханич. задаче о рассеянии на потенциальном центре. Физич. картина рассеяния бесспиновой частицы на финитном потенциале $V(\boldsymbol{r})$ подсказывает, что в асимптотике (при $r=|\boldsymbol{r}| \rightarrow \infty)$ решение стационарного Шредингера уравнения \[ -\Delta \psi(\boldsymbol{r})+V(\boldsymbol{r}) \psi(\boldsymbol{r})=\boldsymbol{k}^{2} \psi(\boldsymbol{r}) \] ( $\Delta$ - оператор Лапласа, $\boldsymbol{k}$ - импульс частицы; принята система единиц, в к-рой $\hbar=c=1$ ) должно иметь слагаемое, отвечающее частице, налетающей на рассеивающий центр по направлению $x=\boldsymbol{k} / k, k=|\boldsymbol{k}|$ : \[ \psi_{-} \sim \frac{e^{i k r}}{r} \delta(n+x) \] и слагаемое, описывающее удаляющуюся по всем возможным направлениям $\boldsymbol{n}=\boldsymbol{r} / \boldsymbol{r}$ частицу: \[ \psi_{+} \sim \frac{-e^{-i k r}}{r} S(k ; n, x) . \] Здесь $\delta\left(\boldsymbol{n}-n_{0}\right)-\delta$-функция на единичной сфере, определяемая соотношением \[ \int f(\boldsymbol{n}) \delta\left(\boldsymbol{n}-\boldsymbol{n}_{0}\right) d \boldsymbol{n}=f\left(\boldsymbol{n}_{0}\right), \quad d \boldsymbol{n}=\sin \theta d \theta d \varphi \] в сферич. системе координат. Для свободной частицы $[V(\boldsymbol{r})=0]$ при $r \rightarrow \infty$ имеем \[ \psi_{\boldsymbol{k}}^{0}(\boldsymbol{r})=\frac{\boldsymbol{k}}{2 \pi i} e^{i \boldsymbol{k} \boldsymbol{r}}=\frac{e^{-i \boldsymbol{k} \boldsymbol{r}}}{\boldsymbol{r}} \delta(\boldsymbol{n}+x)-\frac{e^{i \boldsymbol{k} \boldsymbol{r}}}{r} \delta(\boldsymbol{n}-x)+O\left(r^{-2}\right), \] так что в отсутствие взаимодействия Р. м. тривиальна: \[ S^{0}(k ; \boldsymbol{n}, \boldsymbol{x})=\delta(\boldsymbol{n}-\boldsymbol{x}) . \] Для нетривиального рассеяния Р. м. определяется как интегральный оператор $S$ с ядром \[ S(k ; n, x)=\delta(\boldsymbol{n}-x)+\frac{i \boldsymbol{k}}{2 \pi} f(k ; \boldsymbol{n}, x) ; \] функция $f$ называется амплитудой рассеяния. $S$ действует в пространстве квадратично суммируемых на сфере функций (волновых пакетов). Благодаря описанному выше асимптотич. поведению этот оператор унитарен. Существование решений с нужным асимптотич. поведением следует из нестационарной теории рассеяния. Для физич. приложений удобен другой базис в пространстве состояний - состояния с определенной энергией и угловым моментом, $|k, l\rangle$ (где $l$ - орбитальное квантовое число). Тогда $S$ представлен для бесспиновых частиц диагональной матрицей \[ \left\langle l^{\prime}, k^{\prime}|S| k, l\right\rangle=\delta\left(k-k^{\prime}\right) \delta_{l l^{\prime}} e^{2 i \delta_{l}}, \] где $\delta_{l}(k)$ - фаза рассеяния ( $\delta_{l l^{\prime}}$ - символ Кронекера). В более сложных случаях (частицы со спином, неупругое рассеяние, процессы рассеяния и поглощения частиц в релятивистской теории) элементы $S$-матрицы получают новые квантовые числа, и она перестает быть диагональной. Однако во всех случаях эффективные сечения непосредственно выражаются через квадраты модулей ее элементов. Таким образом, для решения задачи рассеяния достаточно знать только асимптотику волновой функции (или $S$-матрицу), а не ее поведение при всех конечных $r$. Это побудило В. Гейзенберга (W. Heisenberg), исходившего из общей идеологии об исключении ненаблюдаемых величин, выдвинуть в $1943 S$-матрицу как основной объект теории, полностью характеризующий взаимодействие частиц, к-рый должен строиться непосредственно, без обращения к гамильтониану и связанному с детальным пространственно-временным описанием уравнению Шредингера. В представлении Фока $S$-матрица, как и любой другой оператор, может быть записана в виде формального ряда по операторам рождения и уничтожения, коэффициентные функции к-рого непосредственно связаны с амплитудами перехода между любыми состояниями невзаимодействующих частиц. Эти коэффициентные функции не могут быть совершенно произвольными. Определенные фундаментальные физич. требования, к-рым обязательно должна удовлетворять $S$-матрица, налагают на них ряд ограничений и взаимных связей. Из этих требований В. Гейзенбергом были явно сформулированы: 1) релятивистская ковариантность, то есть вытекающее из теории относительности требование независимости теоретич. предсказаний от выбранной системы координат ( $S$ должна быть инвариантом); 2) унитарность: \[ S S^{+}=S^{+} S=1 \] ( ${ }^{+}$означает эрмитово сопряжение), необходимая, чтобы сохранялась норма вектора состояния (вероятность найти систему после рассеяния в каком-либо состоянии должна равняться единице). В условие унитарности включают и требование существования полной системы состояний. Однако В. Гейзенберг не рассмотрел требования причинности, к-рому, хотя бы в виде условия макропричинности, теория обязательно должна удовлетворять. Поэтому такая постановка задачи оказалась слишком общей и не принесла сразу конечных результатов. В дальнейшем в работах Э. Штюкельберга (E. Stueckelberg) и Н. Н. Боголюбова требование причинности было уточнено. Чтобы его сформулировать, необходимы какие-либо локальные операторы. Н. Н. Боголюбов ввел для этой цели вариационные производные $S$-матрицы по локальным (зависящим от точки $x$ пространства-времени) объектам (полям). В представлении Фока $S$-матрицу можно представить в виде разложения по нормальным произведениям локальных квантовых полей $\varphi(x)$ : \[ S=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-i)^{n}}{n !} \int d x_{1} \ldots d x_{n} \Phi^{n}\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right): \varphi\left(x_{1}\right) \ldots \varphi\left(x_{n}\right): \] Под знаком нормального произведения : ... : поля $\varphi\left(x_{i}\right)$ удовлетворяют Клейна-Гордона уравнению или, как говорят, находятся на поверхности энергии. Чтобы воспользоваться обычным определением вариационной производной функционала, следует рассматривать это разложение при любых $\varphi(x)$, то есть расширенным за поверхность энергии. Таким образом, чтобы наложить условие причинности и извлечь заложенную в нем физич. информацию, приходится сначала расширить введенное В. Гейзенбергом понятие Р. м. до более широкого объекта $-S$-матрицы вне поверхности энергии, сформулировать для него условие микропричинности и после этого использовать связи между матричными элементами, к-рые из него следуют. Подчеркнем, что в конце концов с наблюдаемыми величинами опять связывается только ограничение Р. м. на энергетич. поверхность. Довести этот путь прямого построения Р. м. до конечных формул, дающих полное описание рассеяния, удается только, если прибегнуть к разложению в ряды теории возмущений. При этом оказывается, что требования релятивистской инвариантности, унитарности и причинности ограничивают теорию столь же сильно, как и принятие гамильтонова метода, и приводят по существу к тем же результатам, что и развитый С. Томонагой (S. Tomonaga) и Ю. Швингером (J. Schwinger) способ, обобщающий на релятивистский случай упомянутый выше метод получения Р. м. через асимптотику решений уравнений Шредингера. На обоих путях для Р. м. получается компактная символич. запись в виде так наз. хронологич. экспоненты (см. Хронологическое произведение): \[ S=T\left\{\exp \left[i \int L_{\mathrm{int}}(x) d x\right]\right\} \] где $L_{\text {int }}(x)$ - лагранжиан взаимодействия в представлении взаимодействия. Фактически эта формула - краткая запись ряда теории возмущений, последовательные члены к-рого изображаются Фейнмана диаграммами, вычисляемыми с помощью правил Фейнмана, с применением процедуры перенормировок. Однако теория возмущений не всегда применима. В таких случаях пользуются другими методами, в к-рых центральную роль играют рассмотрение Р. м. в целом и изучение общих свойств ее матричных элементов, прямо описывающих амплитуды процессов рассеяния и рождения. Гейзенберговы локальные операторы могут быть тогда выражены через расширенную за поверхность энергии Р. м. и играют важную роль, поскольку через них накладывается центральное в $S$-матричном подходе условие причинности Боголюбова. Это условие приводит к обращению в нуль матричных элементов Р. м. в определенных пространственно-временных областях. С другой стороны, условие унитарности в комбинации с положительностью масс всех состояний полной системы (условием спектральности) приводит к обращению в нуль фурье-образов тех же матричных элементов в определенных импульсных областях. Из этих двух свойств можно вывести, что для каждого заданного числа и сорта частиц амплитуды всех возможных реакций суть граничные значения одной аналитич. функции многих комплексных переменных, фактически зависящей от их лоренц-инвариантных комбинаций. Из этих свойств голоморфности можно вывести ряд непосредственно связывающих опытные факты физич. следствий. Так, в простых случаях двухчастичного рассеяния, напр. для рассеяния пионов на нуклонах, выписываются дисперсионные соотношения, выражающие вещественную часть амплитуды рассеяния через интеграл от ее мнимой части (см. Дисперсионных соотношений метод). На этом пути приходят и к другим важным модельно независимым результатам, не опирающимся на конкретную форму взаимодействия, таким, как перекрестная симметрия, асимптотические теоремы, результаты относительно асимптотич. автомодельности формфакторов. В то же время этот путь позволяет исследовать многие сложные явления типа глубоко-неупругих процессов и дает благодаря условиям унитарности и перекрестной симметрии способы исследования связей между амплитудами и сечениями отдельных процессов. Таким образом, исследование аналитич. свойств амплитуд, основанное на аксиоматич. $S$-матричном подходе с условиями причинности и предположениями о спектре масс (см. Аксиоматическая квантовая теория поля), позволяет получать, хотя и ограниченные, но важные точные результаты. Лит.: [1] Heisenberg W., «Z. Phys.», 1943, Bd 120, S. 513, 673; [2] Новейшее развитие квантовой электродинамики, Сб. ст., под ред. Д. Д. Иваненко, М., 1954; [3] Боголюбов Н. Н., Ширков Д. В., Введение в теорию квантованных полей, 4 изд., М., 1984; [4] Боголюбов Н. Н., Медведев Б. В., Поливанов М. К., Вопросы теории дисперсионных соотношений, М., 1958; [5] Померанчук И. Я., «Журнал эксперим. и теоретич. физики», 1958, т. 34, с. 725; [6] Дирак П. А., Принципы квантовой механики, пер. с англ., 2 изд., М., 1979, гл. 8; [7] Берестецкий В. Б., «Успехи физич. наук», 1962, т. 76, с. 25; [8] Новожилов Ю. В., Введение в теорию элементарных частиц, М., 1972; [9] Логунов А. А., Мествиришвили М. А., Хрусталев О. А., Ограничения на поведение сечений упругих и неупругих процессов при высоких энергиях, «Физика элементарных частиц и атомного ядра», 1972, т. 3, с. 515; [10] Боголюбов Н. Н., Владимиров В. С., Тавхелидзе А. Н., «Теоретич. и математич. физика», 1972, т. 12, с. 305; [11] Тодоров И. Т., Аксиоматический подход в квантовой теории поля, в кн.: Международная зимняя школа теоретической физики при ОИЯИ, Дубна, 1964; [12] Медведев Б. В., Поливанов М. К., К аксиоматическому построению матрицы рассеяния, там же; [13] Файнберг В. Я., Уравнения квантовой теории поля в аксиоматическом подходе, там же; [14] Меркурьев С. П., Фаддеев Л. Д., Квантовая теория рассеяния для систем нескольких частиц, М., $1985 . \quad$ Б. В. Медведев, М. К. Поливанов.

оператор $S$, переводящий состояние системы (точнее, состояния вектор) $\Phi_{-\infty}$ до рассеяния (или реакции) в состояние $\Phi_{+\infty}$ после рассеяния: \[ \Phi_{+\infty}=S \Phi_{-\infty} \] В конкретном представлении таким оператором является матрица, строки и столбцы к-рой удобно нумеровать значениями полного набора физич. величин, сохраняющихся при свободном движении частиц. Р. м. имеет важное значение в квантовой механике и является одним из основных объектов в квантовой теории поля. Понятие Р. м. возникает в квантовомеханич. задаче о рассеянии на потенциальном центре. Физич. картина рассеяния бесспиновой частицы на финитном потенциале $V(\boldsymbol{r})$ подсказывает, что в асимптотике (при $r=|\boldsymbol{r}| \rightarrow \infty)$ решение стационарного Шредингера уравнения \[ -\Delta \psi(\boldsymbol{r})+V(\boldsymbol{r}) \psi(\boldsymbol{r})=\boldsymbol{k}^{2} \psi(\boldsymbol{r}) \] ( $\Delta$ - оператор Лапласа, $\boldsymbol{k}$ - импульс частицы; принята система единиц, в к-рой $\hbar=c=1$ ) должно иметь слагаемое, отвечающее частице, налетающей на рассеивающий центр по направлению $x=\boldsymbol{k} / k, k=|\boldsymbol{k}|$ : \[ \psi_{-} \sim \frac{e^{i k r}}{r} \delta(n+x) \] и слагаемое, описывающее удаляющуюся по всем возможным направлениям $\boldsymbol{n}=\boldsymbol{r} / \boldsymbol{r}$ частицу: \[ \psi_{+} \sim \frac{-e^{-i k r}}{r} S(k ; n, x) . \] Здесь $\delta\left(\boldsymbol{n}-n_{0}\right)-\delta$-функция на единичной сфере, определяемая соотношением \[ \int f(\boldsymbol{n}) \delta\left(\boldsymbol{n}-\boldsymbol{n}_{0}\right) d \boldsymbol{n}=f\left(\boldsymbol{n}_{0}\right), \quad d \boldsymbol{n}=\sin \theta d \theta d \varphi \] в сферич. системе координат. Для свободной частицы $[V(\boldsymbol{r})=0]$ при $r \rightarrow \infty$ имеем \[ \psi_{\boldsymbol{k}}^{0}(\boldsymbol{r})=\frac{\boldsymbol{k}}{2 \pi i} e^{i \boldsymbol{k} \boldsymbol{r}}=\frac{e^{-i \boldsymbol{k} \boldsymbol{r}}}{\boldsymbol{r}} \delta(\boldsymbol{n}+x)-\frac{e^{i \boldsymbol{k} \boldsymbol{r}}}{r} \delta(\boldsymbol{n}-x)+O\left(r^{-2}\right), \] так что в отсутствие взаимодействия Р. м. тривиальна: \[ S^{0}(k ; \boldsymbol{n}, \boldsymbol{x})=\delta(\boldsymbol{n}-\boldsymbol{x}) . \] Для нетривиального рассеяния Р. м. определяется как интегральный оператор $S$ с ядром \[ S(k ; n, x)=\delta(\boldsymbol{n}-x)+\frac{i \boldsymbol{k}}{2 \pi} f(k ; \boldsymbol{n}, x) ; \] функция $f$ называется амплитудой рассеяния. $S$ действует в пространстве квадратично суммируемых на сфере функций (волновых пакетов). Благодаря описанному выше асимптотич. поведению этот оператор унитарен. Существование решений с нужным асимптотич. поведением следует из нестационарной теории рассеяния. Для физич. приложений удобен другой базис в пространстве состояний - состояния с определенной энергией и угловым моментом, $|k, l\rangle$ (где $l$ - орбитальное квантовое число). Тогда $S$ представлен для бесспиновых частиц диагональной матрицей \[ \left\langle l^{\prime}, k^{\prime}|S| k, l\right\rangle=\delta\left(k-k^{\prime}\right) \delta_{l l^{\prime}} e^{2 i \delta_{l}}, \] где $\delta_{l}(k)$ - фаза рассеяния ( $\delta_{l l^{\prime}}$ - символ Кронекера). В более сложных случаях (частицы со спином, неупругое рассеяние, процессы рассеяния и поглощения частиц в релятивистской теории) элементы $S$-матрицы получают новые квантовые числа, и она перестает быть диагональной. Однако во всех случаях эффективные сечения непосредственно выражаются через квадраты модулей ее элементов. Таким образом, для решения задачи рассеяния достаточно знать только асимптотику волновой функции (или $S$-матрицу), а не ее поведение при всех конечных $r$. Это побудило В. Гейзенберга (W. Heisenberg), исходившего из общей идеологии об исключении ненаблюдаемых величин, выдвинуть в $1943 S$-матрицу как основной объект теории, полностью характеризующий взаимодействие частиц, к-рый должен строиться непосредственно, без обращения к гамильтониану и связанному с детальным пространственно-временным описанием уравнению Шредингера. В представлении Фока $S$-матрица, как и любой другой оператор, может быть записана в виде формального ряда по операторам рождения и уничтожения, коэффициентные функции к-рого непосредственно связаны с амплитудами перехода между любыми состояниями невзаимодействующих частиц. Эти коэффициентные функции не могут быть совершенно произвольными. Определенные фундаментальные физич. требования, к-рым обязательно должна удовлетворять $S$-матрица, налагают на них ряд ограничений и взаимных связей. Из этих требований В. Гейзенбергом были явно сформулированы: 1) релятивистская ковариантность, то есть вытекающее из теории относительности требование независимости теоретич. предсказаний от выбранной системы координат ( $S$ должна быть инвариантом); 2) унитарность: \[ S S^{+}=S^{+} S=1 \] ( ${ }^{+}$означает эрмитово сопряжение), необходимая, чтобы сохранялась норма вектора состояния (вероятность найти систему после рассеяния в каком-либо состоянии должна равняться единице). В условие унитарности включают и требование существования полной системы состояний. Однако В. Гейзенберг не рассмотрел требования причинности, к-рому, хотя бы в виде условия макропричинности, теория обязательно должна удовлетворять. Поэтому такая постановка задачи оказалась слишком общей и не принесла сразу конечных результатов. В дальнейшем в работах Э. Штюкельберга (E. Stueckelberg) и Н. Н. Боголюбова требование причинности было уточнено. Чтобы его сформулировать, необходимы какие-либо локальные операторы. Н. Н. Боголюбов ввел для этой цели вариационные производные $S$-матрицы по локальным (зависящим от точки $x$ пространства-времени) объектам (полям). В представлении Фока $S$-матрицу можно представить в виде разложения по нормальным произведениям локальных квантовых полей $\varphi(x)$ : \[ S=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-i)^{n}}{n !} \int d x_{1} \ldots d x_{n} \Phi^{n}\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right): \varphi\left(x_{1}\right) \ldots \varphi\left(x_{n}\right): \] Под знаком нормального произведения : ... : поля $\varphi\left(x_{i}\right)$ удовлетворяют Клейна-Гордона уравнению или, как говорят, находятся на поверхности энергии. Чтобы воспользоваться обычным определением вариационной производной функционала, следует рассматривать это разложение при любых $\varphi(x)$, то есть расширенным за поверхность энергии. Таким образом, чтобы наложить условие причинности и извлечь заложенную в нем физич. информацию, приходится сначала расширить введенное В. Гейзенбергом понятие Р. м. до более широкого объекта $-S$-матрицы вне поверхности энергии, сформулировать для него условие микропричинности и после этого использовать связи между матричными элементами, к-рые из него следуют. Подчеркнем, что в конце концов с наблюдаемыми величинами опять связывается только ограничение Р. м. на энергетич. поверхность. Довести этот путь прямого построения Р. м. до конечных формул, дающих полное описание рассеяния, удается только, если прибегнуть к разложению в ряды теории возмущений. При этом оказывается, что требования релятивистской инвариантности, унитарности и причинности ограничивают теорию столь же сильно, как и принятие гамильтонова метода, и приводят по существу к тем же результатам, что и развитый С. Томонагой (S. Tomonaga) и Ю. Швингером (J. Schwinger) способ, обобщающий на релятивистский случай упомянутый выше метод получения Р. м. через асимптотику решений уравнений Шредингера. На обоих путях для Р. м. получается компактная символич. запись в виде так наз. хронологич. экспоненты (см. Хронологическое произведение): \[ S=T\left\{\exp \left[i \int L_{\mathrm{int}}(x) d x\right]\right\} \] где $L_{\text {int }}(x)$ - лагранжиан взаимодействия в представлении взаимодействия. Фактически эта формула - краткая запись ряда теории возмущений, последовательные члены к-рого изображаются Фейнмана диаграммами, вычисляемыми с помощью правил Фейнмана, с применением процедуры перенормировок. Однако теория возмущений не всегда применима. В таких случаях пользуются другими методами, в к-рых центральную роль играют рассмотрение Р. м. в целом и изучение общих свойств ее матричных элементов, прямо описывающих амплитуды процессов рассеяния и рождения. Гейзенберговы локальные операторы могут быть тогда выражены через расширенную за поверхность энергии Р. м. и играют важную роль, поскольку через них накладывается центральное в $S$-матричном подходе условие причинности Боголюбова. Это условие приводит к обращению в нуль матричных элементов Р. м. в определенных пространственно-временных областях. С другой стороны, условие унитарности в комбинации с положительностью масс всех состояний полной системы (условием спектральности) приводит к обращению в нуль фурье-образов тех же матричных элементов в определенных импульсных областях. Из этих двух свойств можно вывести, что для каждого заданного числа и сорта частиц амплитуды всех возможных реакций суть граничные значения одной аналитич. функции многих комплексных переменных, фактически зависящей от их лоренц-инвариантных комбинаций. Из этих свойств голоморфности можно вывести ряд непосредственно связывающих опытные факты физич. следствий. Так, в простых случаях двухчастичного рассеяния, напр. для рассеяния пионов на нуклонах, выписываются дисперсионные соотношения, выражающие вещественную часть амплитуды рассеяния через интеграл от ее мнимой части (см. Дисперсионных соотношений метод). На этом пути приходят и к другим важным модельно независимым результатам, не опирающимся на конкретную форму взаимодействия, таким, как перекрестная симметрия, асимптотические теоремы, результаты относительно асимптотич. автомодельности формфакторов. В то же время этот путь позволяет исследовать многие сложные явления типа глубоко-неупругих процессов и дает благодаря условиям унитарности и перекрестной симметрии способы исследования связей между амплитудами и сечениями отдельных процессов. Таким образом, исследование аналитич. свойств амплитуд, основанное на аксиоматич. $S$-матричном подходе с условиями причинности и предположениями о спектре масс (см. Аксиоматическая квантовая теория поля), позволяет получать, хотя и ограниченные, но важные точные результаты. Лит.: [1] Heisenberg W., «Z. Phys.», 1943, Bd 120, S. 513, 673; [2] Новейшее развитие квантовой электродинамики, Сб. ст., под ред. Д. Д. Иваненко, М., 1954; [3] Боголюбов Н. Н., Ширков Д. В., Введение в теорию квантованных полей, 4 изд., М., 1984; [4] Боголюбов Н. Н., Медведев Б. В., Поливанов М. К., Вопросы теории дисперсионных соотношений, М., 1958; [5] Померанчук И. Я., «Журнал эксперим. и теоретич. физики», 1958, т. 34, с. 725; [6] Дирак П. А., Принципы квантовой механики, пер. с англ., 2 изд., М., 1979, гл. 8; [7] Берестецкий В. Б., «Успехи физич. наук», 1962, т. 76, с. 25; [8] Новожилов Ю. В., Введение в теорию элементарных частиц, М., 1972; [9] Логунов А. А., Мествиришвили М. А., Хрусталев О. А., Ограничения на поведение сечений упругих и неупругих процессов при высоких энергиях, «Физика элементарных частиц и атомного ядра», 1972, т. 3, с. 515; [10] Боголюбов Н. Н., Владимиров В. С., Тавхелидзе А. Н., «Теоретич. и математич. физика», 1972, т. 12, с. 305; [11] Тодоров И. Т., Аксиоматический подход в квантовой теории поля, в кн.: Международная зимняя школа теоретической физики при ОИЯИ, Дубна, 1964; [12] Медведев Б. В., Поливанов М. К., К аксиоматическому построению матрицы рассеяния, там же; [13] Файнберг В. Я., Уравнения квантовой теории поля в аксиоматическом подходе, там же; [14] Меркурьев С. П., Фаддеев Л. Д., Квантовая теория рассеяния для систем нескольких частиц, М., $1985 . \quad$ Б. В. Медведев, М. К. Поливанов.